Аналіз означення топологічного простору

Аналіз означення топологічного простору

Нам відоме означення топологічного простору:

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовольняє таким умовам:

1.Порожня множина {\displaystyle \varnothing }0 та множина X належать Γ.

2.Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.

3.Перетин довільного скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Проблемне запитання 1.

Якщо в цьому означенні із пункту 1. виключити порожню множину 0, проте  залишити лише множину Х деяких елементів реально непорожньою, то  система підмножин  Γ може не містити порожньої множини?

 Розглянемо та проаналізуємо випадок, коли система підмножин  Γ  не містить  порожної множини 0.  Тоді у п.2. результатом об’єднання довільного набору множин не може бути порожня множина, тобто реально непорожня Г- як система підмножин множини X. Тоді у п.3. результатом перетину довільного скінченного набору множин з Γ не може бути порожня множина. Тоді результатом перетину скінченного набору множин з Γ стає деяка  F - непорожня мінімальна множина елементів. Зрозуміло, що потужність цієї мінімальної множини F може бути деяким ненульовим числом, або потужність більша, ніж злічене, або бути континуумом.

Дамо наступне означення  дещо іншого простору:

Заангажований простір - це впорядкована пара (X, F), де X - множина, а F - система підмножин множини X (їх називають коректними) , що задовольняє таким умовам:

1.Непорожня множина X\0 більше, ніж зліченна, і належать F.

2.Об'єднання довільного набору множин з F також належить F.

3.Перетин довільного набору множин з F також належить F.

Зрозуміло, що  заангажований простір (X, F),  не містить в собі будь-який непорожній топологічний простір (X, Γ), і це вказує на порожню «дірку»  перетину між множиною топологічних просторів та множиною заангажованих просторів, при цьому   п.2.  та п.3 не звужують можливості результатів операцій  об’єднання та перетину множин, а розширюють їх. При цьому поняття «заангажований простір» не можна вважати звуженням поняття «топологічний простір». Це різні об’єкти в теорії множин.

Якщо припустимо, що в заангажованому просторі (X, F),  задане часткове впорядкування елементів за деяким одним критерієм (або <, або >, або >=, або <=), то виникає запитання: чи завжди результатом перетину у п.3 буде максимальна множина із принципу максимуму Гаусдорфа:

Принцип максимуму Гаусдорфа — є альтернативним та більш раннім формулюванням леми Цорна. Як і лема Цорна він еквівалентний аксіомі вибору. Сформульований та доведений Феліксом Гаусдорфом в 1914 році.

В довільній частково впорядкованій множині існує максимальна лінійно впорядкована множина.

Існують інші формулювання цього принципу максимуму. Для цього ведемо два означення:

·        Ланцюг - це лінійно впорядкована підмножина частково впорядкованої множини.

·        Максимальний ланцюг - це ланцюг, для якого не існує ланцюга, в якому б він був власною підмножиною.

Альтернативне формулювання:

В частково впорядкованій множині довільний ланцюг міститься в деякому максимальному ланцюзі.

Лема Цорна (лема Куратовського-Цорна, аксіома Цорна) - одне з тверджень теорії множин еквівалентне аксіомі вибору. Названа на честь німецького математика Макса Цорна.

Лема:

Нехай (P,≤) — деяка частково впорядкована множина. Якщо кожна лінійно впорядкована підмножина T має верхню межу, то P має максимальний елемент.

А тепер про парадокс

Теорема Гаусдорфа парадокс в математиці імені Фелікса Гаусдорфа.

Вона включає в себе сфери S2 (2-мірна сфера в R3). У ньому говориться, що якщо з S2 якось видалити якусь зліченну підмножину, то залишок можна розділити на три підмножини А, В і С, які не перетинаються й такі, що A, B, C і B ∪ C усі рівні. Зокрема, випливає, що на S2 немає звичайної адитивної міри, визначеної для всіх підмножин, і такої, що міра конгруентних множин була б рівною (бо це означало б, що міра А як 1/3 і 1/2 не- нулю міра всій області).

Парадокс був опублікований в Mathematische Annalen в 1914 році і також у книзі Гаусдорфа, Grundzüge дер Mengenlehre, того ж року. Доказ набагато більш знаменитого парадоксу Банаха-Тарського використовує ідеї Гаусдорфа.

Цей парадокс показує, що немає скінчено-адитивної міри на сфері, визначеної для всіх підмножин, яких для конгруентних частин буде однаковою. (Гаусдорфа вперше показали в тій же роботі більш легкий результат, що є нічим лічильно-адитивна міра, визначена на всіх підмножин.) Структура групи обертань на сфері відіграє вирішальну роль тут - твердження не відповідає дійсності на площині чи лінія. Насправді, як пізніше було показано Банахом, можна визначити «зону» для всіх обмежених підмножин в евклідовій площині (а також «довжину» на прямих) таким чином, що конгруентні множини матимуть рівну «область». (Це Банахова міра, однак, є лише кінцеві добавки, так що це не показник, в повному розумінні, але вона дорівнює мірі Лебега для множин, для яких остання існує^{[джерело?]}.) Це означає, що якщо дві відкритих підмножини площини (або реальна лінія) розкладені в рівній мірі то вони мають рівні площі.